Xbox обычно синхронизирован с моб. приложением (без этого не выполнить первичную настройку даже вроде, мне по крайней мере пришлось его ставить себе).

Так вот, там в приложении в настройках есть пункт "Состояние Xbox", можно как-то и через консоль но я не помню где в ней искать.
Я бы как минимум попросил бы зайти в этот раздел и проверить что там все в порядке.
Разумеется пересмотри внешнее состояние (все гнезда, что внутри ничего не "катается" при наклоне, нет ли внешних дефектов/сколов или следов вскрытия).
Попробуй запустить какую нибудь самую "жирную" из установленных игр, хотя бы минут на 10-15 (нужно конечно на больше, что бы убедится что от перегрева ничего не вылетает, но врядли ты у него сможешь пару часов "зависать").
Геймпад еще проверь, что бы стики и курки не люфтили, может быть консоль исправна, а геймпад изнасилован в файтингах каких..

Ну и обрати внимание на адекватность продавца. )