Как решать неопределенные интегралы. Гайд для чайников
Матан — самое сильное колдунство на сегодняшний день.
Мы остались с ним в пустом классе и он медленно начал объяснять мне, как правильно брать разные интегралы разными способами. И вот уже в конце нашего первого занятия он предложил мне взять мой первый в жизни интеграл. Но как только я его увидела, я жутко испугалась и убежала.
Два математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Один (пессимист) утверждал, что большинство ее вообще не знает, а другой (оптимист) — что хоть и не много, но знают. Когда пессимист отошел в туалет, оптимист подозвал симпатичную официантку-блондинку и говорит:
— Когда мой коллега вернется, я задам вам вопрос. Суть не важна.
Все, что вы должны сделать — это сказать "Треть икс куб".
— Как-как? Третий скуп? — переспрашивает официантка?
— Да нет, Треть Икс Куб, Понятно?
— А-а! Третик скуп? — повторяет официантка.
— Да, да. Это все о чем я вас прошу.
Официантка уходит твердя про себя как заклинание фразу "Третик скуп".
Тут возвращается пессимист. Оптимист говорит — давай спросим у нашей официантки чему равен какой-нибудь простенький интеграл. Пессимист со смехом соглашается. Оптимист вызывает официантку и спрашивает:
— Извините, вы не помните чему равен интеграл от x^2 по dх?
— Треть икс куб... - отвечает официантка.
Пессимист сильно удивляется, на что официантка добавляет:
— А хули ты удивляешься, блять? Училась по гайдам с ДТФ.
Все очень просто. Глядим на эту картинку:
Слева от знака равно находится то, что тебе дано изначально. Функция1 - это функция, зависящая от х. Функция2 - это то, что тебе нужно получить из функции1 путем математических манипуляций. Получил? Молодец, даже инспектор Гаджет не справился бы лучше. Теперь прибавь к этому буковку "С" и ответ готов. Тебе не нужно знать, что такое dx, что такое С и вообще теорию интегралов, тебе достаточно знать правила преобразования функции1 в функцию2, чтобы получить 2 на контрольной. И в этом посте я дам тебе такие правила.
Теперь смотрим на эту картинку:
Тебе всего лишь нужно привести функцию1 к какому-нибудь пункту из этой таблицы. А дальше просто смотришь в нее и пишешь ответ. И "С" не забудь.
(пропуск начала анекдота)
— Извините, вы не помните чему равен интеграл от x^2 по dх?
— Треть икс куб... - отвечает официантка.
Пессимист сильно удивлен, оптимист довольно улыбается.
Когда официантка приносит счёт, вмешивается пессимист:
— Дамочка, а чему равно число пи?
Официантка подумала немного и выдала:
— Дор?
Готов к потере интегральной девственности? Вот первый пример:
Запоминаем:
- Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
- Если перед подынтегральной функцией стоит константа, то ее можно вынести за знак интеграла.
Применяя оба правила на практике получаем:
Для решения первых двух интегралов используем пункт 3 из таблицы. Вместо n нужно подставить соответствующие значения (n=2 для первого случая, n=1 для второго). Для третьего интеграла - пункт 2 из таблицы. И получается вот что:
Два дагестанских математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Далее события развивались с утомительной неизбежностью.
Сейчас мы этот интеграл почленно делить будем. Вот:
Ну первый интеграл ты знаешь как решать, если не анимешник. Второй интеграл - табличный, пункт 4. А теперь самостоятельная работа. Закончи пример и дай ответ.
Молодец, что не забыл С. Идем дальше.
Вообще-то интеграла от sin2x в таблице нет. Придется делать замену переменной. А для этого придется все-таки узнать, что такое dx.
Обзовем 2x как u. А теперь магия: du=2dx, значит dx =1/2du. Кто не понял, я просто взял производную по х от u и приписал в конце dx. Подставляем всю эту хрень в исходный интеграл и получаем:
А это, дамы и господа, база под номером 7 в списке баз. Получив косинус и вернув х вместо u, получаем базированный ответ:
(пропуск начала анекдота)
Тут возвращается пессимист. Оптимист говорит — давай спросим у нашей официантки чему равен какой-нибудь простенький интеграл. Пессимист со смехом соглашается. Оптимист вызывает официантку и спрашивает:
— Извините, вы не помните чему равен интеграл от x^2 по dх?
— Не знаю, не разбираюсь в этом, да и оно мне, собственно, до пизды, — отвечает официантка.
Изучим решение интегралов по частям (по-Питерски).
Применять данный метод надо, когда у нас произведение двух разных функций под интегралом. Пример:
U это х, а dv это sin(x)dx. Теперь нужно найти du и v, чтобы у нас были все элементы формулы. Раз u=x, то du=dx. Если dv=sin(x)dx, то v=-cos(x) (это я небольшой интегральчик взял). Подставляем в формулу выше:
Ну интеграл от косинуса ты знаешь где искать. Окончательный ответ:
Готов к полному пиздецу?
Применим метод, который в нашей семье передается из поколения в поколение - метод неопределенных коэффициентов. Бачим сюда:
Ловко, да? Все, что нам нужно - это найти эти а, б и с. Дальше интеграл распадется на три табличных.
Теперь можно и сократить знаменатели.
Надо раскрыть скобки.
Ну тут даже камню понятно, что: а+б+с=1; 5а+2б+с=-19; 6а-3б-2с=6. Решается оно так:
Ну а теперь:
Глядим на пункт 4 в таблице и получаем (если что dx и d(x+3) это одно и тоже):
Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы не обосраться на первой контрольной и слегка обосраться на второй.
Комментарий недоступен
В своих скитаниях по Городу он преисполнился, что начал вешать об интегралах на ДТФ
Передайте чайникам чтобы гуглили матпрофи
Они не умеют.
Матан — самое сильное колдунство на сегодняшний день.
Oh, my sweet summer child...
https://youtu.be/mqAf5lOJZew
Тут про игры сайт, зачем это тут?
Ну уже бы автор и рассказал про физический смысл интегралов. Что с помощью них вычисляют по сути площадь объекта образованного кривой. А отсюда уже можно было бы легче простого подтянуть к геймдеву, а это уже как бы и в тему сайта. Сейчас получается так, что посчитал что-то, а для чего - непонятно. Но в любом случае, автору почтение – хорошее объяснение.