Я решил эту головоломку!

Firefox wrong bookmark favicon correction.

Для того чтобы firefox сохранял верную иконку (favicon) в закладки нужно:

1. Найти где хранится неверная иконка или ее саму в виде base64 или ссылку (смотря как она хранится).

Для этого разлогиниваемся и заходим в свойства страницы. Ищем глазами там нужную нам иконку во вкладке с мультимедиа. И копируем код/ссылку

2. Удаляем иконку из локальной базы данных профиля

about:profiles → Корневой каталог → favicons.sqlite

Открываем через SQLiteStudio базу данных.
В moz_icons во влкадке данные - ищем эту самую иконку и удаляем ее.
Готово.

Еще более жесткий метод, в инете нашел, но там АоЕшкой проходятся по всем favicon'ам, но это неудобно, их потом надо будет обновлять вручную, либо через аддон.

Вот этой командой

var fS = Components.classes["@mozilla.org/browser/favicon-service;1"]
.getService(Components.interfaces.nsIFaviconService);
fS.expireAllFavicons();