1) Как выключать Xbox X?Удерживай кнопку с лого Xbox-> Выключение консоли.
2) Как закрывать игру и как её просто сворачивать?Можешь не закрывать, Xbox сам за тебя закроет, если ему надо будет. Вообще выходить из любой игры и приложения так: в быстром меню по кнопке Xbox выбираешь программу или игру, нажимаешь кнопку меню (правая) на геймпаде, там есть пункт "Выйти".
3) Есть ли у Xbox X какой ли режим типа спящего у плоек? Ну, чтобы поставить много чего на закачку на ночь и отправить консоль в спящий режим, а игры спокойно качаются?Если не включен режим "Энергосбережение" в настройках питания, то выключение консоли по умолчанию спящий режим, в котором консоль будет качать сама обновления и игры. 
4) Первоначальный экран можно тонко настроить под себя? Или так и будут на нём линейкой все последние действия и приложения?Можно, смотри видео на YouTube или тыкай сам, писать долго. В главной линии будут всегда последние отрытые приложения и игры, все что ниже настраивается и групппируется как тебе угодно. Если что дашборд на Xbox часто дорабатывают и через год он может выглядеть иначе, а через 2 года вообще не узнаешь. 
5) На сколько хватает батареек из комплекта с геймпадом?Хороших батареек хватит на часов 35-40 игры.