Ян Дененберг

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 13 на 7. Вырежьте из него 15 прямоугольников размером 2 на 3.

а) Можно ли написать 5 разных целых чисел так, чтобы ровно в трёх из них была цифра 1, ровно в трёх была цифра 2 и ровно в трёх была цифра 3?

Набор из 100 натуральных чисел обладает тем свойством, что каждое из этих чисел является делителем суммы остальных 99 чисел этого набора. Могут ли все эти числа быть попарно различными?

Моё решение.

N - натуральное число, s - сумма его десятичных цифр. Оказалось, что N=s(s+1)(s+2). Чему может быть равно N? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Простые числа из простых цифр

Рассмотрим такую последовательность.

Чему равно следующее число в этой последовательности?

512, 729, 216, 81, ?

Бросить курить, завязать с выпивкой и начать ходить в спортзал Настя с Дашей ещё кое-как смогли. А вот отказаться от выкатывания пудры оказалось выше их сил.

Верно ли, что единственные простые числа с суммой цифр 7, перевёрнутая запись которых является точным квадратом, это 61 и 4201?

В таблицу размером 3 х 3 расставили неповторяющиеся натуральные числа, не большие 15. Могло ли оказаться, что для любых двух соседних по стороне клеток отношение большего числа к меньшему — целое?

Решите в простых числах уравнение p^2+q^2=r^2-68

Ключевуха!
Ключевые слова для поиска олимпиадных задач, серия 3.
[1 - 150]:
1] "2022 учебный год" "9 класс" "докажите что"
2] "Кружок 7 класса" "2016 учебный год"
3] "математический бой" "первая лига"
4] "можно ли на доске"
5] "на доске написаны цифры"
6] "можно ли расставить" "7 класс"
7] "можно ли расставить" "докажите что"
8] "вписанная" "докажите что" "в…

Назовём натуральное число удачным, если цифры его десятичной записи можно разбить на две группы с одинаковой суммой цифр.

Какое наибольшее количество удачных чисел может образовывать арифметическую прогрессию с разностью 2?