Ян Дененберг

Соревнуются 8 команд. Каждые две команды встречаются один раз; за выигрыш команды получают 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0. Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?

В семье пятеро детей. Четверо старших соответственно на 4, 10, 12 и 16 лет старше младшего. Возраст каждого ребёнка выражается простым числом. Кроме того, сумма возрастов всех пятерых детей делится на возраст младшего.

Сколько лет младшему ребёнку?

Число, записанное 2026 единицами, разделили на 3. Сколько нулей содержит частное?

Найдите все натуральные n, при которых числа 1,2,3,...,4n можно разбить на n групп по четыре числа так, чтобы в каждой группе одно из чисел было равно среднему арифметическому трех других.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, сколько решений имеет ребус:

О − Д − И − Н = О : Д : И : Н = 1 (разным буквам соответствуют разные цифры)

- Доктор, у меня конец кривой.

- Раздевайтесь, показывайте.

- А очки тоже снимать?

Докажите, что если к натуральному числу, состоящему из одинаковых ненулевых цифр, приписать справа ещё девять таких же цифр, то сумма цифр квадрата полученного числа будет ровно на 81 больше суммы цифр квадрата исходного числа.

За круглым столом сидят А, В, С, D. У каждого из них есть по несколько яблок. Сначала А дал каждому из остальных по столько яблок, сколько тот уже имел (тем самым удвоив число яблок у всех, кроме себя). После этого В сделал то же самое, и так далее до D. После этого у всех оказалось по 32 яблока. Сколько у кого было яблок в начале?

Найдите все натуральные числа, каждое из которых равно кубу суммы различных цифр, встречающихся в его десятичной записи. При вычислении суммы каждая цифра, встречающаяся в десятичной записи числа, учитывается ровно один раз. 05102026 Ответ: 1, 343, 512, 3375, 4913, 5832, 19683.

Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон, если этот треугольник является остроугольным?

Настя составила из восьми различных ненулевых цифр четыре двузначных числа так, что сумма двух из них равна сумме двух других.

Не используя компьютерный перебор, определите наименьшее возможное значение этой суммы.

Настя внесла через платёжный терминал целое число рублей на счёт мобильного телефона. Терминал удерживает комиссию, равную некоторому натуральному числу процентов от внесённой суммы, причём это число меньше 30. Размер комиссии вычисляется точно, без округления.

После удержания комиссии на счёт Насти было зачислено 667 рублей.

Сколько рублей внесла На…