Вот дочитал до "бабаек" и всё. сразу ясно, что автор какие-то не те источники читал. бабай - всего лишь дед на тюркских языках. бабайка - уничижительная переделка, превратившее просто инородное слово в пугалку, скорее всего довольно поздняя.