Парадокс бесконечного отеля

Недавно посмотрел видео про большие числа: гуголплекс, Число Грэма, TREE(3) и т.д. И меня немного удивляет, что многие на вопрос: назовите самое большое число, которое Вы знаете, отвечают - "бесконечность".

Да, согласен, бесконечность больше чем гугол, гуголплекс и любое другое конечное число. Но есть один подвох, из-за которого бесконечность вообще нельзя считать числом в привычном нам понимании.

Попробую в небольшом очерке объяснить почему именно.

Зачем? Ну, не все про игры же писать ;-) Да и может быть кого заинтересует.

Поехали!

Для небольшого понимания концепции бесконечности есть забавный мысленный эксперимент (или как еще называют - парадокс).

Впервые парадокс был сформулирован немецким математиком Давидом Гильбертом в 1924 году. Суть следующая: существует отель, в котором есть бесконечное количество комнат. Вы - управляющий этого отеля. А дальше самое интересное: представим, что отель заполнен полностью и рассматриваем следующие случаи:

Случай 1

Пришел новый постоялец. Но ведь все места заняты! Что делать? А все просто. Помним - у нас бесконечное количество комнат. Стучимся в дверь №1 и просим жильца переехать в комнату №2, жильца комнаты №2 - в комнату №3 и т.д. В общем случае каждый жилец переезжает в комнату n+1 где n - номер его комнаты. Все готово, новый постоялец успешно заселен.

Случай 2

Приехал автобус с бесконечным количеством новых клиентов. Тактика случая 1 не сработает, нужно придумывать что-то новое. К счастью, мы знаем, что количество нечетных чисел бесконечно, поэтому делаем следующий фокус: стучимся к постояльцу в комнате №1 и просим его переехать в комнату №2. Жильца комнаты №2 просим переехать в комнату №4, №3 - в комнату №6 и т.д.

В общем случае получается, что каждый жилец переезжает в комнату 2*n где n - номер его комнаты.

Таким образом, все нечетные номера у нас освободились, и места хватает для нового бесконечного потока клиентов.

Случай 3

К нам приезжает бесконечное количество автобусов. В каждом автобусе бесконечное количество людей. Как нам всю эту прорву разместить в отеле?

На самом деле просто. Мы вспоминаем, что множество простых чисел бесконечно. А также вспоминаем основную теорему арифметики (каждое натуральное число раскладывается в произведение простых множителей, и притом однозначно с точностью до их перестановки.).

В общем, алгоритм простой. Всех жильцов отеля селим в комнаты, номера которых являются степенями первого простого числа - 2. Т.е. 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8 и т.д. Пассажиров первого автобуса селим в номера, которые являются степенями следующего простого числа - 3. Т.е. 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27 и т.д. Для оставшихся автобусов все аналогично. Конечно, останутся незанятые номера, но у нас же их бесконечное количество, можно не волноваться.

Забавно, да? В одной бесконечности мы разместили множество бесконечностей! Это как впихнуть в литровую банку целый океан.

Понимаете теперь почему я написал, что бесконечность это не совсем число? Мы можем в одной бесконечности разместить бесконечное количество бесконечностей! С любым конечным числом такой фокус не прокатит.

Поэтому если вас спросят про самое большое число, то отвечайте просто - 9^^9. Оно не самое большое конечно же, но его размеры просто впечатляют. Да и формулируется оно достаточно просто.

Спасибо за внимание!

Если обнаружите любые неточности или опечатки - не стесняйтесь ткнуть меня в комментариях.

Основу (т.е. полностью весь материал 😁) я взял с этого ролика:

Также переведенная версия:

P.S. И да, это была счетная бесконечность. Если копать дальше, то окажется, что впихнуть невпихуемое не всегда возможно. Но это уже другой уровень.