Интригующий комплексный анализ [ТФКП для незнающих]

Как потрогать бесконечность? Как закрыть школьные недосказанности? Как сломать мозг имея при этом только ручку и листок?

Всем привет, это Кавендиш. Все мои планы по постам умерли трагичной смертью из-за огромного завала и болезни, так что, пока я болел, решил перечитать свои старые конспекты и наткнулся на курс комплексного анализа.

Комплексный анализ или для многих знакомый по другой аббревиатуре — ТФКП (теория функций комплексного переменного) — это раздел математики, построенный там, где обычной математики в вещественных числах уже не хватает. Помимо чистой математики и физики, методы комплексного анализа незаменимы в электротехнике, теории сигналов, оптимизации и даже в машинном обучении.

Но на самом деле комплан (комплексный анализ) переполнен интересными идеями, которые иногда портят мозг, ведь их невозможно даже представить. Как поверхности переходят в поверхности, как интеграл можно перетягивать, как можно измерить бесконечность — все это то, что ломает неподготовленное сознание, но безумно завораживает каждого, кто решит углубиться в этот курс.

В этом посте я решил собрать несколько занимательных концепций, которые выходят за рамки обычных, уже всем известных, знаний.

Но если вы совсем ничего не знаете о комплексных числах — не переживайте, следующий параграф для вас. А для всех остальных предлагаю его перескочить.

Как я и сказал выше, комплексный анализ построили там, где вещественного (числа множества R — вся числовая ось) уже не хватает.

В физике, например, долгие годы не могли описать формулу для сложной цепи, которая бы содержала конденсатор или катушку. Обычная цепь спокойно задавалась уравнением импеданса, но вот сложную формулу вывести не могли, пока ее не описали с помощью комплексных чисел. Ну или решите уравнение x² + 1 = 0. Тут как раз и решили расширить привычные действительные числа (R).

Когда человечество все же задалось вопросом решения подобных уравнений стало ясно — одной вещественной оси не хватает, нужно ее дополнять. И дополнили. Теперь вместо одной числовой оси используются сразу две. Так получилось двухмерное пространство C, где числа — пары (x, y), где x и y действительные числа:

Перейдя в двухмерное пространство мы получаем комплексную плоскость, где существуют все числа. Так, например, если мы будем двигаться только по оси x, мы так и останемся в вещественных числах. На ней мы все так же можем отметить 1, 2, 3 и так далее, просто на этой плоскости мнимая часть будет равна нулю.

Для того, чтобы не путаться, решили записывать мнимую часть отдельно, то есть числа вида x из обычных действительных чисел, превратились в числа вида x + y · i, где x и y это координаты чисел по двум осям соответственно. Ничего сложного, если вы знакомы с базовой плоскостью, которая была в 7 классе, и в школе рисовали векторы на алгебре. Вы просто задаете какую-то определенную точку в пространстве и просто ее записываете в координатах через такой вид.

Также нельзя не упомянуть, что эта самая мнимая единица определяется следующим ниже написанным уравнением:

На этом равенстве строится весь этот раздел математики. Теперь, думаю, мы можем приступить к более серьезным вопросам.

Дисклеймер: все примечания, формализующие текст, находятся в разделе Примечания и помечены [n].

Учась в школе, где-то в 7 классе, вас не посещала мысль "Где сумма квадратов"? А ведь действительно, есть же всевозможные формулы сокращенного умножения, но одной недостает:

Невозможность существования этой формулы доказывается достаточно тривиально. Чтобы разложить какое-то уравнение степени 2, оно должно иметь корни, то есть решаться [6]. Но что будет, если мы попытаемся найти корни этого уравнения через дискриминант?

Он меньше нуля в любом случае, ведь y² - это всегда положительное число, которое мы умножаем на всегда отрицательное -4. Как раз отсюда следует невозможность разложения суммы квадратов во что-то более понятное. Ведь как нас учили в школе - если дискриминант меньше нуля, то корней нет [5].

Вот здесь нам и может пригодиться наши воспоминания из параграфа базы. Ведь мнимое число i в квадрате как раз и дает -1! Следовательно, если мы умножим -4 на -1 мы получим число больше нуля и корни будут существовать!

В самом деле — именно при использовании комплексной плоскости мы наконец-то получаем формулу сокращенного умножения для суммы квадратов и выглядит она так:

Конечно, едва ли вы найдете ей применение в обычной жизни.

Как мы уже знаем из жизни или из предыдущего параграфа - комплексная плоскость это просто двухмерная плоскость с точками вида (x, y). Но Бернхард Риман в 19 веке предложил вариант как можно представить двухмерные числа с трехмерной фигуры [4].

Это проекция, и называется она стереографической. Она отображает каждую точку комплексной плоскости на каждую точку сферы. Как? Соедините точку снизу "на земле" с точкой полюса (самая верхняя точка сферы) — точка пересечения полученного отрезка с поверхностью сферы и будет проекцией комплексного числа.

Но есть проблема, мы отобразили каждую точку нижней плоскости (комплексного множества) на сферу, но не отобразили все точки сферы на C. Мы потеряли тот самый полюс, ведь он не пересекает сферу. А вследствие этого было предложено следующее - сопоставить полюсу несуществующее в C число — бесконечность. Так появилось дополненное комплексное множество C с чертой, включающее в себя бесконечность, которая стала уже настоящим числом.

Так в математике появилась настоящая бесконечность. Такую, что можно использовать как аргумент функции или значением функции:

Формально, бесконечность одна, потому точка соприкосновения со сферой — одна. Поэтому, если мы уйдем до бесконечности по X или по Y, мы все равно придем в одну и ту же точку. Поэтому иногда их делят, например записывая перед знаком бесконечности i, давая явно понять, что мы ушли по мнимой оси.

Не уходя далеко от геометрических интерпретаций, рассмотрю еще кое что. У комплексных чисел, как и у любых других, существуют корни. Но они весьма специфичны. Хотел бы я на вас вывалить огромную кипу сложных для неподготовленного человека формул, но обойдусь рукомахательством, все равно не будете проектировать самолеты исходя из моих слов.

Любое комплексное число определяется не только его двумя координатами, но еще углом поворота от оси x и длиной вектора. Действительно, возьмем, например, точку 1 + 1·i, то есть (1, 1).

Если мы знаем насколько отклонена точка (45º) и насколько она далеко от точки 0 (по теореме Пифагора корень из 2 ~= 1.4), то мы можем точно определить ее местоположение и координаты. Это был краткий экскурс в эйлерову форму комплексных чисел [3].

Но что такое корень из комплексного числа? А это сразу несколько чисел! Дело в том, что существует сразу пачка таких вот значений углов и длин, которые при повороте дают одно и то же. Причем различных их только k — степень корня. То есть, например, если мы берем квадратный корень, то в ответе у нас будет два различных числа. И все они отличаются на один и тот же угол. Понимаете к чему я?

А вот к чему. Все эти корни делят пространство в равных пропорциях, поэтому получается что-то вроде такого:

А вот так выглядит уже что-то поинтереснее - корень шестой степени из 3·i + 1:

Как вы видите, мы получаем правильные многоугольники с вершинами в значениях корня числа. Может вам это пригодится, не знаю, на первом свидании с девушкой.

Усилим градус сложности, не только ведь 2 + 2 рассматривать.

Наверное, почти каждый из вас помнит, что такое интеграл. Если нет, то напомню. Простейшими словами - это площадь под графиком. То есть, например, интеграл от такого будет равен 4 (2 · 2):

А поэтому у нас сформировано вполне себе конкретное понятие. Если что-то имеет форму, то площадь того, что внутри — это интеграл. Взять круг — это будет π · r², взять прямоугольник b · a, взять что-то неограниченное снизу, получится прямое применение теоремы Ньютона-Лейбница [1].

Но в комплексном анализе это представление ломается на корню, ведь вводится новое понятие - интеграл по контуру. У него даже может отличаться значение в зависимости от того, идем ли мы по часовой стрелке от точки A к B или против часовой - от точки B к A.

Так, например, если брать уже комплексный интеграл по точно такой же фигуре, как на Рис. 1 (хотя это уже давно не рис. 1, но кому какая разница), то он будет равен нулю. Вот так просто.

Какую бы мы не взяли замкнутую область, если она имеет производную в любой точке [2], то ее интеграл всегда ноль. Так гласит теорема Коши.

Следовательно, что квадрат со сторонами миллион на миллион, что непонятная ломаная фигура, все будут иметь один и тот же интеграл — ноль.

Но есть же функции, у которых нет производной в каждой точке (например, если функция не существует в этой точке). Тогда интеграл считается по другому. Можно взять 1/x и опять контур цветка с рисунка выше.

Используя все те же рассуждения, что и выше, можно понять, что этот цветок можно свести к чему угодно, например, к окружности — от этого значение не изменится. Следует это из того, что каждой точке цветка можно сопоставить точку окружности. И там и там же их бесконечность. Вот и выходит, что с точки зрения комплексных чисел это две одинаковых фигуры.

Интеграл такой фигуры будет 2π · i, но я не способен это понятно объяснить, а поэтому вам придется просто мне поверить на слово.

Пост, конечно, получился коротким. Но его таким и не сделаешь, если не вдаваться в подробности. Тут нет формул, выкладок, теорем и так далее, лишь образы на пальцах, которые при усложнении и формализации превратились бы в несколько страниц сухого математического текста.

Надеюсь, вам понравилось компиляция нескольких интересных фактов из мира комплексного анализа. На самом деле, он намного красивее, чем изложенное выше, но без серьезного погружения этого не осмыслишь. Но если вы, конечно, хотите понять тему серьезнее, то можете обратиться к литературе ниже, которую я использовал по ходу изучения курса ТФКП в ВУЗе, а следовательно и при написании этого поста.

Если интересно, то можете перейти в мой мертвый тг канал, который я обещаю начать вести, если там будет >=10 подписчиков.

1. Хотя и в предыдущих случаях использовалась именно она, только по двойному интегралу.

2. Формальное условие - функция должна быть голоморфной в области.

3. На самом деле форма другая, но использует все те же идеи. Будь это геометрическая запись, либо с помощью числа Эйлера.

4. Конкретно это нужно было для компактификации множества. Обычная комплексная плоскость не включала бесконечность.

5. Если он равен нулю, то x = y - тривиальный вариант.

6. Почему для разложения многочленов второй степени необходимы корни: ссылка1, ссылка2